2-3-2-4 : Conception des pavillons JMLC

Mise à jour : 16 septembre 2023, Antidote 11.

 

Article trouvé dans la revue Musique et technique du 2^e trimestre de 1999.
Cette revue a cessé de paraître depuis plusieurs années.
L'auteur, Jean Michel LE CLEAC'H, était bien connu sur plusieurs forums. Il est malheureusement décédé.

La méthode de calcul a certainement évoluée depuis :
Contrairement au dessin de la page 4, ou les côtés du pavillon partent pratiquement horizontalement (à 90°), le calcul actuel montre des côtés qui repartent vers l'arrière (à 180°) pour revenir vers l'avant (270° et plus).

 

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Téléchargez la version 2007 du fichier de calcul de Jean Michel LE CLEAC'H.
C'est sur des points de détail comme celui-ci que l'on se rend compte combien Internet a fait des progrès au fil du temps.

 

Liens :

Calculateur de pavillon inspiré JMLC.
J'ai trouvé ce lien en cherchant "JMLC Like" dans un moteur de recherche.
Je le trouve intéressant pour son explication en couleur de la méthode de tracé à la CAO.

 

Base de calcul :

Calotte sphérique, pour le calcul de l'aire, dans Wikipédia.

 

Méthode de calcul Dôme Acoustique, départ du calcul :

Départ du calcul :

Les deux premières sections seront des sections sphériques.
La valeur de la première section sera conservée, la seconde à petite distance de la première ne sert qu'à avoir l'angle de départ du pavillon, angle qui ne dépend que de la surface de gorge, de la surface suivante à la distance X, et de la fréquence de calcul de la loi d'expansion.
Si la figure 2c montre des surfaces qui ont l'air droites, en pratique elles sont sphériques.
Si la même figure montre les sections F1, F2, F3, F4 et F5, je vais partir avec une section F0 de plus, F0 sera sphérique.

Le calcul avec la loi d'expansion donne une surface S0 et une surface S1 à une distance X1 connue par rapport à S0.
Nous commencerons avec des surfaces planes de diamètre D0 = racine( S0 * 4 / Pi) et D1 = racine( S1 * 4 / Pi). R0 = D0 /2 et R1 = D1 / 2.
Ces deux diamètres permettent d'avoir l'angle de départ : ALPHA0 = ASIN( (R1 - R0) / X ).

Avec l'angle, nous pouvons avoir le rayon de la première surface sphérique XDR0 = R0 / SIN( ALPHA0 ). Le point est souvent loin en arrière du départ du pavillon.
Nous pouvons aussi avoir H0 = XDR0 - racine( XDR0² - R0² ), et S0 = 2 * Pi * XDR0 * H0.

Nous pouvons faire de même pour la surface 1 :
XDR1 = XDR0 + X1
H1 = XDR1 - racine( XDR1² - R1² ).
S1 = 2 * Pi * XDR1 * H1.
ALPHA1 = ALPHA0.

L'aire d'une calotte sphérique est donnée avec 3 formules différentes, j'ai bien sûr calculé avec les 3 pour vérifier la cohérence jusqu'au 11^e chiffre après la virgule.
Cette vérification faite, j'ai gardé la formule la plus simple...

 

Boucle d'ajustement :

Il faut retoucher les rayons R0 et R1 autant de fois que nécessaires pour faire correspondre les surfaces avec la loi d'expansion, et avoir l'angle de départ.
Nous avons un rayon R0, une surface théorique STH donnée par la loi d'expansion, une surface sphérique calculée SCALC.
Nouveau_R0 = R0 * racine( STH / SCALC ).
De la même façon, nous recalculons le nouveau R1.
Le calcul est relancé autant de fois que nécessaire, la différence entre ABS( STH - SCALC) est calculée, et quand la précision de 0.0000000001 mm² est atteinte, le calcul est arrêté....

 

Fin du calcul :

Les valeurs R0 sont affichées dans le tableau.
La longueur de départ est 0 mm pour R0, la valeur est affichée elle aussi.
La longueur pour R1 est X * COS(ALPHA1).

Nous avons maintenant de bonnes valeurs de départ pour calculer les autres sections.

 

Conclusion :

Le départ du calcul est vérifié et validé à une réserve près, il faut un très petit pas pour initialiser l'angle de départ avec une précision suffisante.
Je ne vous laisserai pas le choix de la valeur qui est initialisée à 0.005 mm !!!

 

Méthode de calcul Dôme Acoustique, autres surfaces :

Calcul de la surface d'un élément :

Les autres surfaces sont les éléments de type a et b en page 3/5.
Si nous définissons ces éléments avec un rayon, un angle de départ et un angle de fin, la surface F(i+1) pourra se calculer rigoureusement de la même façon pour les types a ou b.
L'élément de type b est nécessaire, c'est lui qui permettra d'obtenir la surface totale théorique en changeant progressivement l'angle par itérations.

Imaginons que nous découpions chaque surface avec une toute petite longueur dL. dL = 0.0001 mm.
Avec le rayon R au milieu du dL, la circonférence est 2 * Pi * R, et la surface 2 * Pi * R * dL.
Une boucle de calcul fera la somme des surfaces de largeur dL sur la longueur L.
Mon calcul n'est pas un calcul exact, mais la vérification à la CAO donne une précision de 0.03 mm² sur une portion de 10° à 1000 mm, précision que je n'arrive pas à réduire en gardant un temps de calcul encore raisonnable.
Il faudra voir la précision obtenue quand il y aura 20 ou 30 calculs de surfaces consécutifs, sur les grandes sections F20 à F30 éloignées de la gorge.

 

Surface d'ajustement :

C'est l'élément de type b en page 3/5 pour chacune des surfaces F1, F2, F3, F4, etc.
Les morceaux de surfaces de type a en page 3/5 sont connus, leur surface est calculable.
Une boucle permettra de trouver l'angle final à utiliser pour avoir la surface manquante.

 

Tronc de cône :

Soir R le grand rayon, r le petit rayon, h la hauteur, la surface S = Pi * (R + r) * a, avec a = racine(h² + (R - r)²).
Aire d'un cône tronqué, méthode à creuser, ajoutée en septembre 2023...

 

Calcul d'une loi d'expansion :

Expansion du pavillon :
Fréquence de coupure basse Fcb en Hz :
Fréquence de calcul de la loi d'expansion :
Coeficient T de calcul de la loi d'expansion :
Entrez la Surface Sg de gorge en cm2 :
Longueur, pas de calcul et pas d'affichage :
Entrez la Longueur Lg du calcul du pavillon en cm :
Entrez le Pas de calcul du pavillon en cm :
Entrez le Pas d'affichage du pavillon en cm :

 

 

 

 

Dôme Acoustique