2-6-3-4 : La mise en série des filtres du 1^er et 2^e ordre

Mise à jour : 11 juin 2024, Antimode 11.

 

Pourquoi ?

La transformée de Linkwitz dans rePhase se termine avec un filtre passe-haut du 2^e ordre à Ft et Qt.
La mise au point à l'écoute m'a fait rajouter un 2^e filtre passe-haut, lui aussi à Ft et Qt.
Puis j'ai ajouté un 3^e filtre passe-haut à une fréquence inférieure à Ft, avec un Q trouvé à l'écoute.

Ces trois filtres ne font pas une coupure avec des propriétés précises.
Il existe des coefficients F et Q bien précis à utiliser quand on veut faire un filtre Butterworth ou Bessel d'ordre 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8.
Ce chapitre indique les coefficients à utiliser.

La mise au point est grandement facilitée :
Au lieu d'avoir trois filtres à régler un par un sur deux paramètres F et Q, vous en réglez qu'un seul en rentrant les valeurs dans 3 lignes de Minimum-Phase Filters de rePhase.
Même s'il faut sortir la calculatrice pour entrer les valeurs de fréquence pour un filtre Bessel, toutes les valeurs sont liées, et vous n'avez pas à chercher les Q optimaux à chaque fois.

Une seule mise au point avec 1 seul paramètre, au lieu de 3 mises au point avec 2 paramètres, et de meilleurs résultats à l'écoute, il n'y a pas photo !!!
Il faudra tout de même chercher si nous partons sur un ordre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, il n'y a pas forcément la place pour plus.

 

Cas d'emploi :

Quand le filtre n'existe pas dans rePhase :

• Un filtre Butterworth à phase linéaire.
• Un filtre Bessel à phase linéaire.
• Un filtre Bessel à phase minimum.

C'est inutile pour un filtre Butterworth à phase minimum, puisque le filtre existe dans rePhase.

 

Le PDF de Jude Levasseur :

Téléchargez le PDF.
Pour moi, l'intérêt de ce PDF réside dans les coefficients à utiliser pour la mise en série des filtres Butterworth et Bessel d'ordre 1 et 2.

• Page 8, la caractéristique Butterworth.
• Page 9, la caractéristique Bessel.
• Le filtre Linkwitz-Riley existe dans rePhase, à 12, 24, 36, 48, ... dB/octave.

 

Butterworth :

Coefficient pour les filtres passe-bas Butterworth. Image prise dans le PDF de Jude Levasseur, voir plus bas dans le chapitre.
Pour un filtre passe-haut et passe-bas, les coefficients fp1, Q1, fp2, Q2, fp3, Q3, fp4, Q4 et fp5, Q5 ne changent pas.
Pour un filtre passe-bas, la fréquence à utiliser est la fréquence souhaitée multipliée par fp.
Pour un filtre passe-haut, la fréquence à utiliser est la fréquence souhaitée divisée par fp.
Pour les filtres Butterworth, avec Fp = 1.000 dans tous les cas, multiplier ou diviser ne change rien !!!

 

Un filtre Butterworth passe-haut du 5^e ordre, à 30 dB par octave et à 50 Hz, se fait dans rePhase avec deux filtres du 2^e ordre et un filtre du 1^er ordre.
Les coefficients sont à prendre dans la ligne n = 5, fp1 et Q1 pour le premier, fp2 et Q2 pour le second, fp3 pour le troisième.

• F = 50 / 1.000 = 50 Hz et Q = 0.618.
• F = 50 / 1.000 = 50 Hz et Q = 1.618.
• F = 50 / 1.000 = 50 Hz.

Un filtre Butterworth passe-bas du 5^e ordre, à 30 dB par octave et à 7940 Hz, se fait dans rePhase avec deux filtres du 2^e ordre et un filtre du 1^er ordre.
Les coefficients sont à prendre dans la ligne n = 5, fp1 et Q1 pour le premier, fp2 et Q2 pour le second, fp3 pour le troisième.

• F = 7940 * 1.000 = 7940 Hz et Q = 0.618.
• F = 7940 * 1.000 = 7940 Hz et Q = 1.618.
• F = 7940 * 1.000 = 7940 Hz.

Les 6 filtres Butterworth (deux fois trois filtres) dans rePhase.
Les fréquences de coupure à 50 et à 7940 Hz du 5^e ordre à 30 dB/octave sont à -3 dB.

 

Compte tenu de la simplicité de la mise en place dans rePhase, il n'est pas nécessaire de prévoir de l'aide.
J'ai appris qu'il y a dans Minimum-Phase Filters le filtre Butterworth à 30 dB/octave, en une ligne au lieu de trois, sans le moindre calcul, sans le moindre coefficient Q...
Pour un haut-parleur large bande, utiliser un filtre avec une phase linéaire est préférable, cela vous évite ensuite d'avoir à corriger la phase.

 

Bessel :

Coefficient pour les filtres passe-bas Bessel. Image prise dans le PDF de Jude Levasseur, voir plus bas dans le chapitre.
Pour un filtre passe-haut et passe-bas, les coefficients fp1, Q1, fp2, Q2, fp3, Q3, fp4, Q4 et fp5, Q5 ne changent pas.
Pour un filtre passe-bas, la fréquence à utiliser est la fréquence souhaitée multipliée par fp.
Pour un filtre passe-haut, la fréquence à utiliser est la fréquence souhaitée divisée par fp.
Pour les filtres Bessel, ne vous trompez pas entre multiplier et diviser, une erreur change tout !!!

 

Un filtre Bessel passe-haut du 5^e ordre, à 30 dB par octave et à 50 Hz, se fait dans rePhase avec deux filtres du 2^e ordre et un filtre du 1^er ordre.
Les coefficients sont à prendre dans la ligne n = 5, fp1 et Q1 pour le premier, fp2 et Q2 pour le second, fp3 pour le troisième.

• F = 50 / 1.5611 = 32.029 Hz et Q = 0.5635.
• F = 50 / 1.7607 = 28.398 Hz et Q = 0.9165.
• F = 50 / 1.5069 = 33.181 Hz.

Un filtre Bessel passe-bas du 5^e ordre, à 30 dB par octave et à 7940 Hz, se fait dans rePhase avec deux filtres du 2^e ordre et un filtre du 1^er ordre.
Les coefficients sont à prendre dans la ligne n = 5, fp1 et Q1 pour le premier, fp2 et Q2 pour le second, fp3 pour le troisième.

• F = 7940 * 1.5611 = 12395 Hz et Q = 0.5635.
• F = 7940 * 1.7607 = 13980 Hz et Q = 1.9165.
• F = 7940 * 1.5069 = 11965 Hz.

Les 6 filtres Bessel (deux fois trois filtres) dans rePhase.
Les fréquences de coupure à 50 et à 7940 Hz du 5^e ordre à 30 dB/octave sont à -3 dB.
Pourtant avec les coefficients fp1, fp2 et fp3 aucune fréquence n'est à 50 ou à 7940 Hz, cela ne simplifie pas la lecture.

 

Différence en image :

Entre trois filtres mis au point à l'écoute sur les deux paramètres F et Q en rouge, et un filtre Butterworth du 5^e ordre en bleu.
Est-ce utile de préciser que le filtre Butterworth du 5^e ordre donne de meilleurs résultats à l'écoute ?
Même si les différences à -3 dB ne sont pas si grandes que ça, regardez bien l'échelle en dB, il y a un gain sur la bande passante avec les fréquences de coupure choisies à l'écoute dans les deux cas.

 

Calcul d'un filtre passif, avec F, Q et Z :

Fréquence F, impédance Z, et Q donné par les tableaux ci-dessus.
F = 1 / ( 2 * Pi * racine( L * C ) ).
Q = Z / racine( L / C ).
Deux équations, deux inconnues, il y a une solution mathématique...

C = Q / ( 2 * Pi * F * Z ) en Farad, multipliez par 1000000 pour avoir des uF
L = Z² * C / Q² en Henri, multipliez par 1000 pour avoir des mH.

Un jeu de valeurs de vérification :
Pour être certain des décimales, les calculs ont été effectués en PHP, et arrondis à la mise en page.

• Filtre Butterworth calculé avec les formules des livres, Q = 0.707 à 12 dB/octave à 500 Hz sur 8 Ohms : L = 3.6016 mH, C = 28.1250 uF.
  Vérification avec les formules ci-dessus : Q = 0.70695, F = 500.0646 Hz.
  Calcul avec les formules ci-dessus : C = 28.125 uF, L = 3.6016 mH.
   
• Filtre Linkwitz-Riley calculé avec les formules des livres, Q = 0.500 à 12 dB/octave à 500 Hz sur 8 Ohms : L = 5.0928 mH, C = 19.9000 uF.
  Vérification avec les formules ci-dessus : Q = 0.5000785, F = 499.93700 Hz.
  Calcul avec les formules ci-dessus : C = 19.900 uF, L = 5.0928 mH.

 

Valeurs pour un haut-parleur dans une enceinte close Qtc = 0.541, Fc = 500 Hz et un filtre avec Q = 1.307 :

Toujours avec Z = 8 Ohms et F = 500 Hz, pour bien comparer.
C = 52.003878 uF, L = 1.94834 mH.

Si nous voulons un coefficient comme dans le livre de Vance Dickason :
C = Kc / Z / F, Kc = C * Z * F, Kc = 0.208016.
L = Kl * Z / F, Kl = L * F / Z, Kl = 0.121771.

 

Valeurs pour un haut-parleur dans une enceinte close Qtc = 1.307, Fc = 500 Hz et un filtre avec Q = 0.541 :

Toujours avec Z = 8 Ohms et F = 500 Hz, pour bien comparer.
C = 21.525706 uF, L = 4.706985 mH.

Si nous voulons un coefficient comme dans le livre de Vance Dickason :
C = Kc / Z / F, Kc = C * Z * F, Kc = 0.0861028.
L = Kl * Z / F, Kl = L * F / Z, Kl = 0.294187.

 

Vérification de la cohérence globale :

Les valeurs Kc, Kl, C et L passent le test de la règle de trois, du produit en croix pour les plus jeunes, en fonction du Q du filtre.
Les valeurs Kc et Kl pour Q = 0.500 et Q = 0.707 viennent du livre de Vance Dickason, "Enceintes acoustiques & haut-parleurs".
Le fait que mes valeurs calculées, en passant par une tout autre méthode, sont dans la continuité est une bonne garantie de leur pertinence.

Vous noterez un minimum d'impédance bas pour le filtre avec Q = 1.307, qu'il ne faut utiliser qu'avec prudence dans un filtre passif, parce que vous pouvez faire griller votre ampli.
Avec un filtre numérique, il n'y a pas de problème.

 

Calculateur de filtres Butterworth et Bessel :

Compte tenu de l'obligation de sortir la calculette pour la mise en place dans rePhase des filtres BESSEL (je ne sais pas calculer mentalement 7940 * 1.5611, et vous ?), utilisez le petit calculateur ci-dessous.

Type de filtres :	Filtres Butterworth Filtres Bessel
Ordre du filtre ( de 2 à 9 ) :
Fréquence du passe-haut ( en Hz ) :
Fréquence du passe-bas ( en Hz ) :

 

 

Calcul d'un filtre passe-haut Butterworth d'ordre .

1 - Filtre passe-haut du 2^e ordre : Q1 = 0.6180, Fph1 = 50 / 1.000 = 50.000 Hz.

2 - Filtre passe-haut du 2^e ordre : Q2 = 1.6180, Fph2 = 50 / 1.000 = 50.000 Hz.

3 - Filtre passe-haut du 1^er ordre : Fph3 = 50 / 1.000 = 50.000 Hz.

 

Calcul d'un filtre passe-bas Butterworth d'ordre .

1 - Filtre passe-bas du 2^e ordre : Q1 = 0.6180, Fpb1 = 7940 * 1.000 = 7940.0 Hz.

2 - Filtre passe-bas du 2^e ordre : Q2 = 1.6180, Fpb2 = 7940 * 1.000 = 7940.0 Hz.

3 - Filtre passe-bas du 1^er ordre : Fpb3 = 7940 / 1.000 = 7940.0 Hz.

 

Dôme Acoustique