2-3-1-3 : Formules de calcul des pavillons

Mise à jour : 03 février 2023, Antidote 11.

 

Préambule :

L'homme a toujours su naturellement exploiter la fonction de porte-voix simplement en plaçant ses mains devant la bouche.
De la même façon, on peut augmenter le rendu acoustique d'un haut-parleur en le chargeant avec un pavillon.

Le pavillon acoustique joue le rôle d'un transformateur acoustique entre la haute impédance de la source rayonnante (en l'occurrence la membrane du haut-parleur, dont la masse volumique est forte, par exemple le papier utilisé pour la fabrication des cônes) et la très basse impédance acoustique de l'air dont la masse volumique est faible (1,18 kg/m³).
Il est en effet démontré physiquement qu'il est toujours très difficile de transmettre une vibration d'un milieu dense à un milieu léger.

Lors du fonctionnement dynamique du haut-parleur, le pavillon a pour effet physique d'augmenter la masse volumique apparente de l'air au voisinage du cône : il s'ensuit une meilleure transmission des vibrations.

On trouve dans la littérature beaucoup de publications qui s'intéressent aux pavillons acoustiques.
Certains des livres publiés sont très théoriques et il est difficile aux néophytes d'en extraire la substantifique moelle et de passer ainsi à une réalisation pratique.
D'autres ouvrages se présentent comme des articles scientifiques, mais ne donnent en fait que des recettes mystérieuses et secrètes, sans aucune base technique sérieuse, ce qui est toujours un peu frustrant.
Dans tous les cas il manque toujours une ou deux données essentielles pour pouvoir enfin ( ! ) concevoir et réaliser un pavillon acoustique.

Dans une forme que nous espérons la plus claire et concise possible, cet article n'a que pour modeste ambition d'établir les bases et principes nécessaires à la réalisation pratique des pavillons acoustiques.
Ce chapitre est basé sur un grand nombre d'équations pas toujours facile à comprendre pour certains.
Il est associé à un autre chapitre, les pavillons pour les nuls, chapitre qui explique exactement les mêmes choses, mais sans la moindre équation.

 

Définitions :

Surface de gorge Sg : c'est la surface à l'entrée du pavillon.
Cette surface peut être très faible dans le cas des pavillons pour compression, par exemple 5.07 cm² pour un pavillon pour moteur de 1" de diamètre 2.54 cm.

Surface de bouche Sb : c'est la surface de la sortie du pavillon.
La surface minimale, pour rayonner correctement une fréquence, dépend de la longueur d'onde.

Moteur : c'est la chambre de compression, généralement pour médium ou aigu, qui contient la membrane et l'aimant.

L'association {pavillon + chambre de compression} se comporte comme un filtre passe-bande.
En effet, le pavillon ne transmet correctement que les fréquences supérieures à une fréquence de coupure basse que nous appellerons Fcb.
Cette fréquence de coupure basse est liée à la forme géométrique du pavillon.
La chambre de compression agit comme un filtre passe-haut pour les fréquences qui sont supérieures à une fréquence de coupure haute que nous appellerons Fch.
Cette fréquence est directement liée aux dimensions géométriques de la chambre de compression.

 

Schéma de principe :

 

Le schéma ci-dessus est le plus général possible, il montre un haut-parleur chargé par un pavillon, une chambre de compression, une charge arrière.
Si la charge arrière peut être un autre pavillon, un volume clos, une enceinte Bass reflex, un baffle plan, une enceinte infinie, rien, le plus courant est un volume clos.
Le schéma est applicable à la reproduction des sons graves, médiums et aigus, car les formules d'expansion sont uniques et universelles.

 

Rendement d'un pavillon :

Le calcul de la sensibilité se fait dans le cas d'un pavillon de grave, ou de bas médium, qui utilise un haut-parleur de 10 à 46 cm de diamètre.
Dans le cas d'un pavillon de médium aigu, le fabricant du moteur donne directement la sensibilité en fonction du pavillon utilisé.
Calcul de la surface de la gorge Sg par L'Audiophile numéro 11 de juillet 1979 :

Soit Aopt, le rapport entre Sg et Sd, ou
- Sg est la surface de gorge du pavillon, et
- Sd la surface de la membrane du haut-parleur utilisé.
Les unités sont en m².

 

Rendement théorique maximum :

Aopt = Re / ( Re + ( BL² / 2 / Ro / C / Sd ) ) avec :

Ro = 1.200 kg/m³ à 40% Hr
C = 343.4 m/s à 20° Celsius
Re = Résistance au courant continu de la bobine du haut-parleur en Ohms
BL = Facteur de force en N/A
Sd = Surface de la membrane du haut-parleur utilisé en m².

Sg = Aopt * Sd

 

Rendement réel :

Connaissant Aopt calculé ci-dessus, ou A = Sg / Sd si Sg n'est pas optimum, il est possible de calculer le rendement théorique du haut-parleur avec son pavillon :
Rend% = BL² * Re * A / ( Ro * C * Sd * ( Re + A * ( Re + BL² / 2 / Ro / C / Sd ) )² ) * 100.

Il est facile de convertir le rendement % en sensibilité en dB/2.83V/m par la formule :
Sensibilité = 10 * LOG( Rend% / 100 ) + 112.13 en dB.

Le rendement varie assez peu en fonction de la variation de Sg.
La longueur totale du pavillon sera d'autant plus courte que Sg sera grand.

Pour un pavillon de grave, vous avez donc tout intérêt à retenir un Sg supérieur au Sg qui donne le rendement maximum.
J'ai peu d'expérience sur les pavillons avant pour haut-parleur.
Mais le peu d'essais que j'ai fait confirme que la surface de gorge qui donne les meilleurs résultats d'écoute est pour A > Aopt, avec 0.8 < A < 1.
Ce n'est pas une règle absolue, c'est une piste qui a pour base deux essais avec deux haut-parleurs différents.

La surface de gorge est utilisée dans le calcul des différentes surfaces en fonction de la longueur avec une loi d'expansion.

 

Autre formule :

Y.ROCARD dans son livre "Dynamique générale des vibrations" aborde le sujet et explicite par un calcul approché, l'amplification apportée par un pavillon.
Cette amplification théorique A est telle que :
( Sb / 2 * Sg )^0,5 < A < ( Sb / Sg )^0,5
Ce qui donne, traduit en dB, les formules :
5 * LN ( Sb / 2 * Sg ) < A dB < 5 * LN ( Sb / Sg ).

Sg = 2 * pi * Fs * Qts * Vas / C
Fs, Qts, et Vas sont les paramètres électromécanique du Haut-parleur, C = 343.4 m/s, pi = 3.14159.

 

En pratique :

Carré intégralement contenu dans un diamètre de surface Sd :
Pour un bon couplage avec le haut-parleur, je prends une surface de gorge carrée, dont la diagonale est égale au diamètre émissif de la membrane : Sg = 0.64 * SM.
C'est plus grand que la surface qui donne la sensibilité maximum, et ce n'est pas trop petit pour ne pas avoir un pavillon trop long.
Diamètre du haut-parleur = Diam = racine( Sg x 4 / pi )
Côté du carré = Diam / racine( 2 )

Carré de surface 0.9 x Sd :
J'ai très peu réalisé de pavillon.
À l'écoute, il semblerait qu'une surface de gorge égale à 0.9 fois la surface de la membrane donne les meilleurs résultats à l'écoute, au prix d'une perte de sensibilité sans doute inacceptable en sono.
Sg = 0.9 * Sd.

Carré de surface Sd :
Si vous sacrifiez un peu plus de rendement et de sensibilité, pour gagner sensiblement en longueur du pavillon.
Bonne formule pour un pavillon rond équipé d'un large bande qui monte dans le médium.

Carré contenant intégralement un diamètre de surface Sd :
Si vous ne voulez pas cacher le moindre cm2 de la membrane active, en gardant une gorge carrée plus facile à réaliser.
Vous avez accepté de perdre en rendement et sensibilité.
Diamètre du haut-parleur = Diam = racine( Sg x 4 / pi )
Côté du carré = Diam

Dans le cas des pavillons arrière, la surface de gorge est inférieure à la surface de gorge qui donne le rendement et la sensibilité maximale.

 

Volume clos arrière :

Pour avoir la sensibilité calculée, le volume à l'arrière du haut-parleur doit être clos, pour renvoyer dans le pavillon toute l'énergie sonore.
Le haut-parleur, dans ce volume clos, voit sa fréquence de résonance qui remonte.

Calcul de cette fréquence de résonance :
- Fs = Fréquence de résonance du haut-parleur à l'air libre.
- Vas = Volume d'air équivalent à l'élasticité de la suspension en L.
- Qts = Coefficient de surtension totale du haut-parleur.
- Fc = Fréquence de résonance du haut-parleur dans le volume clos.
- Vb = volume du volume clos en L.

Qtc = Qts * racine ( ( Vas / Vb ) + 1 )
Fc = Qtc / Qts * Fs
Fc = Fs * racine ( ( Vas / Vb ) + 1 ).

Fc fixe le milieu de la bande passante en puissance reproduite par le pavillon.
La largeur de la bande passante, par rapport à Fc, est donné par le Qts du haut-parleur retenu.

 

Autre formule :

Le volume de charge arrière du haut-parleur, doit être d'après KLIPSH, tel que :
Vb = C * Sb / ( 2 * pi * Fc ).
Je n'ai pas évalué cette formule, j'ai juste vérifié la cohérence des unités.
Elle me semblerait plus plausible sous la forme Vb = C * Sg / ( 2 * PI * Fc ), ce n'est qu'un avis...
D'autre part, comme Fc dépend directement de Vb, nous sommes dans le cas du serpent qui se mort la queue !!!

Voir aussi : http://melhuish.org/audio/horn.html

 

Idéalement :

La distinction entre les fréquences de coupure haute en réponse et en puissance m'a été précisée par J. Fourcade.
Le calcul utilise la fréquence de coupure haute en puissance.

Le volume clos doit être choisi pour que Fc soit le milieu de la bande passante en puissance qui correspond à votre besoin.
Soit F_cb votre limite basse, et F_chp votre limite haute en puissance, le milieu F_cc = racine( F_cb * F_chp ).
Par exemple avec 70 et 450 Hz, le milieu est à 177.5 Hz et non pas à 260 Hz : les échelles sont logarithmiques sur les fréquences.
Une fréquence de coupure de 450 Hz en puissance correspond environ à une fréquence de coupure de 450 * 2.8284 = 1270 Hz en réponse.
Cette valeur de 1270 Hz doit être vérifiée avec le logiciel de simulation des pavillons Hornresp.

Il convient de vérifier que la bande passante souhaitée est compatible avec la bande passante théorique que peut donner le haut-parleur.
Voir Bande passante théorique ci-dessous.

Avec la fréquence centrale Fcc, et les paramètres du haut-parleur Fs et Vas, vous pouvez avoir directement le volume clos à utiliser :
Vb = Vas / ( ( Fcc / Fs )² - 1 ).

 

Une erreur grossière :

J'ai vu certain d'entre vous calculer le volume clos pour que Fc soit plus bas que la fréquence basse dont ils avaient besoin.
Une enceinte à pavillon n'est pas une enceinte close, même s'il y a aussi un volume clos dont la Fc se calcule comme pour une enceinte close.
Le volume clos d'un pavillon n'est là que pour renvoyer l'énergie dans le pavillon.
Les coupures acoustiques d'une enceinte à pavillon sont données par le Qts du haut-parleur, la taille et la loi d'expansion du pavillon.

 

Bande passante souhaitée :

La distinction entre les fréquences de coupure haute en réponse et en puissance m'a été précisée par J. Fourcade.

Cette bande passante est définie par les deux fréquences extrêmes, la fréquence de coupure basse Fcb et la fréquence de coupure haute en réponse Fch.
Nous allons définir une autre fréquence de coupure haute en puissance, Fchp, qui est définie avec Fch / 2 ou Fch /4.

Dans les outils de calculs, je vais calculer trois cas, avec un espacement constant étant donné que les échelles en fréquences sont logarithmiques :

• Fchp2 = Fch / 2
• Fchp3 = Fch / 2 / racine( 2 ) = Fch / 2.8284
• Fchp4 = Fch / 4

 

Bande passante théorique :

Une fois la fréquence Fc (ou Fcc) du volume arrière du pavillon connue, une fois le Qts du haut-parleur connu, la bande passante du pavillon est assez simple à calculer.
Définissons Fcb_th comme la fréquence de coupure basse théorique du pavillon, et Fch_th comme la fréquence de coupure haute théorique.
Nous avons, Fcb < Fc < Fch.

• Fcb_th = Fc / 2 / Qts * [ racine( 4 * Qts² + 1 ) - 1 ]
• Fch_th = Fc / 2 / Qts * [ racine( 4 * Qts² + 1 ) + 1 ]

D'après le livre Audio de Mario ROSSI, chapitre 9.4.4, pages 616 et 617.
Nous pouvons calculer la bande passante en puissance à partir des valeurs théoriques de Mario ROSSI.
Comme pour la bande passante souhaitée, nous aurons là aussi trois valeurs qui me semblent plus pertinentes que celles calculées avec la bande passante souhaitée.

Choisissons un volume clos tel que Fcc = 150 Hz.

• Pour un haut-parleur avec un Qts = 0.125, Fcb_th = 18.4 Hz, Fch_th = 1220 Hz.
• Pour un haut-parleur avec un Qts = 0.250, Fcb_th = 35.4 Hz, Fch_th = 636 Hz.
• Pour un haut-parleur avec un Qts = 0.500, Fcb_th = 62.1 Hz, Fch_th = 362 Hz.
• Pour un haut-parleur avec un Qts = 0.810, Fcb_th = 83.3 Hz, Fch_th = 269 Hz.

Un volume clos avec une Fc = 150 Hz est un tout petit volume : il sera choisi la plupart du temps un volume plus grand qui donne une Fc plus faible.
La conséquence est un déplacement de la bande passante vers le grave, et une limite de la bande passante dans le médium.
La bande passante ne sera pas utilisée dans le grave, l'encombrement du pavillon est trop important.
La limite de la bande passante dans le médium sera a prendre en compte.
Enfin, si vous voulez monter un peu dans le médium, choisissez un haut-parleur avec un Qts très faible.

Il y a des réalisations avec un volume arrière beaucoup plus grand, volume accordé en Bass reflex.
Considérons ce volume clos, et regardons, sur un exemple, la conséquence sur la bande passante.
Prenons l'ALTEC 515C avec un Qts de 0.166.
- Avec un volume arrière de 50.5 L, Fb = 13.9 Hz, Fh = 530 Hz.
- Avec un volume arrière de 150 L, Fb = 8.7 Hz, Fh = 332 Hz.

La formule d'expansion du pavillon sera calculée pour une fréquence bien inférieure à Fc, et compatible avec la bande passante pratique souhaitée dans le grave.

Il existe aussi les formules de Don KEELE, qui sont utilisées dans la documentation JBL en PDF :
F_lc = Fs * Qts / 2. Beaucoup trop bas pour être d'une quelconque utilité.
F_hm = 2 * Fs / Qts. Début de la pente à 6 dB/octave.
F_hvc = Re / pi / Le. Début de la pente à 12 dB/octave.

 

Haut-parleurs adaptés aux pavillons :

Si vous avez besoin de bande passante dans le médium, ce sont obligatoirement des haut-parleurs avec un Qts très faible qui conviennent.
Plus le Qts sera faible, plus la bande passante sera grande, si on s'en tient aux équations de Mario ROSSI.

Il n'est pas précisé que cette bande passante n'est vraie que s'il y a une chambre de compression entre le haut-parleur et le pavillon.
Il y a de nombreux exemples de pavillon dont la surface de gorge est égale à la surface de la membrane.
Équipés de haut-parleurs large bande, l'ensemble monte jusqu'a l'aigu.
Le plus souvent, ces larges bandes ont aussi un Qts faible.

La recherche multicritères pour pavillon de la base de données permet de trouver les hauts-parleurs les mieux adaptés à cet usage.
Les critères sont le Qts, la sensibilité en pavillon et la fréquence de coupure haute d'après ROSSI.
Les paramètres de calculs sont la surface de gorge et le volume clos à l'arrière du haut-parleur.
Les autres paramètres de calcul sont la résistance du filtre passif, le facteur d'amortissement de l'ampli, le nombre, montage et branchement des haut-parleurs.

 

Cette recherche propose 16 haut-parleurs parmi les 446 possibles sur les 4 premiers critères.
C'est une recherche particulièrement pertinente, et exactement adaptée à votre cas.
Si votre demande est possible, la recherche multicritères vous trouvera votre haut-parleur idéal...

 

Formules d'expansion :

Il y a 4 types de pavillon :

• Le pavillon hyperbolique.
• Le pavillon exponentiel.
• Le pavillon TRACTRIX.
• Le pavillon BESSEL.

Ces pavillons utilisent un coefficient M et pour les pavillons hyperboliques, un coefficient T.

 

Le coefficient M :

Calcul du coefficient d'expansion M :

M = 4 * pi * Fexp / C, avec :

• Fexp = Fréquence de coupure théorique du pavillon.
• C = 343.4 m/s à 20°C
• pi = 3.14159.

Pour Fexp = 1000 Hz, M = 4 * pi * 1000 / 344 = 36.530 m^-1.
Pour Fexp = 250 Hz, M = 4 * pi * 250 / 344 = 9.133 m^-1.

Attention, la valeur de Fcb doit être corrigée.

Dans le cas d'un pavillon exponentiel, il faut faire le calcul à une fréquence 2.500 fois plus faible que celle souhaitée en pratique Fcb.
Si vous souhaitez une coupure Fcb = 1500 Hz, calculez-le pour Fexp = 1500 / 2.500 = 600 Hz.
M = 4 * pi * 600 / 344 = 21.918 m^-1.

Dans le cas d'un pavillon hyperbolique avec T = 0.707, il faut faire le calcul a une fréquence 1.500 fois plus faible que celle souhaitée en pratique.
Si vous souhaitez une coupure à Fcb = 1500 Hz, calculez-le pour Fexp = 1500 / 1.500 = 1000 Hz.
M = 4 * pi * 1000 / 344 = 36.530 m^-1.

Pour T > 1.000, je garde le coefficient 2.500.
Pour T < 0.707, je garde le coefficient 1.500.
Pour les valeurs entre T = 1.000 et T = 0.707, je fais une interpolation linéaire Cefficient = a * T + B.

 

Le coefficient T :

Valeur de T :

• Si T = 1.000, pavillon exponentiel.
• Si T = 0.707, pavillon hyperbolique théorique idéal.
• Si T < 0.707, ce que l'on gagne en fréquence de coupure est perdu par le risque résonance vers la fréquence de coupure, sauf si le but est d'annuler la réactance acoustique sans modifier la surface de gorge.

 

Pavillon hyperbolique :

La formule de l'expansion d'un pavillon hyperbolique est :

• S = Sg * ( COSH ( M * X / 2 ) + T * SINH ( M * X / 2 ) )²

OU :
Pour pouvoir le calculer en PHP qui n'a pas les fonctions COSH et SINH.
Calculs en 3 lignes, pour simplifier l'écriture et le nombre de parenthèses.

• eq_cosh = ( EXP ( M * X /2 ) + EXP ( -M * X / 2 ) ) / 2
  eq_sinh = ( EXP ( M * X / 2 ) - EXP ( -M * X / 2 ) ) / 2
  S = Sg * ( eq_cosh + T * eq_sinh )²

Avec :

• S = Surface en cm² à la distance X.
• Sg = Surface de départ, de gorge, en cm² à la distance X = 0 en m.
• X = Distance entre la surface S et la surface Sg en m.
• COSH = Cosinus hyperbolique = ( EXP ( M * X ) + EXP ( -M * X ) ) / 2.
• SINH = Sinus hyperbolique = ( EXP ( M * X ) - EXP ( -M * X ) ) / 2.
• M = Coefficient d'expansion lié à la fréquence en m^-1.
• T est un coefficient qui modifie la forme et la vitesse d'expansion.
• EXP = Exponentielle.

J'ai vérifié dans EXCEL, avec T = 0.707 et T = 1, M calculé pour 100 Hz, Sg = 120 cm2 et C = 343.707 m/s, pour des longueurs entre 0.0 et 125.0 cm :

• eq_cosh avec COSH.
• eq_sinh avec SINH.
• S = Sg * ( eq_cosh + T * eq_sinh )² avec S = Sg * ( COSH ( M * X / 2 ) + T * SINH ( M * X / 2 ) )².

La comparaison entre les calculs sous EXCEL, et ceux que je propose en PHP dans le site ne montrent aucune différence.

 

Pavillon exponentiel :

Avec T=1 et en simplifiant l'équation :
S = Sg * ( COSH ( M * X ) + 1 * SINH ( M * X ) )
S = Sg * ( ( EXP ( M * X ) + EXP ( -M * X ) ) / 2 + 1 * ( EXP ( M * X ) - EXP ( -M * X ) / 2 ) )
S = Sg * ( EXP ( M * X ) / 2 + EXP ( M * X ) / 2 + EXP ( -M * X ) / 2 - EXP ( -M * X ) / 2 )
S = Sg * ( 2 * EXP ( M * X ) / 2 )
S = Sg * EXP ( M * X ) , avec :

• S = Surface en cm² à la distance X en m.
• SG = Surface de départ en cm² à la distance X = 0 en m.
• X = Distance entre la surface S et la surface Sg en m.
• EXP = Exponentielle.
• M = Coefficient d'expansion lié à la fréquence en m^-1.

Cette équation est beaucoup plus simple à manipuler que celle du pavillon hyperbolique, une simple calculatrice scientifique suffit.

La transformation des cosinus et sinus hyperbolique en exponentielle se trouve dans tous les formulaires de mathématique.

 

Pavillons TRACTRIX :

La formule utilisée est moins pratique à utiliser que les formules précédentes, car on donne d'abord la section du profil, ou son rayon pour le cas d'une trompe, pour atteindre X la distance comptée depuis la bouche (et non pas la gorge).
Le profil est similaire à ceux des pavillons exponentiels, mais avec une ouverture plus rapide quand on s'approche de la bouche (ce qui est d'ailleurs aussi le cas du fameux pavillon IWATA).
On calcule ces pavillons en utilisant la formule suivante, la fréquence de coupure basse est directement liée au rayon R_m de la bouche (voir deuxième formule):

X = R_m * LN ( ( R_m + ( R_m² - R_x² )^0.5 ) / R_x ) ) - ( R_m² - R_x² )^0.5

R_m = C / 2 * pi * Fv

Avec :

• X = distance depuis la bouche en m.
• R_m le rayon du la bouche TRACTRIX
• R_x le rayon à une distance X de la bouche

NOTA : on fait les calculs facilement à partir d'un tableur.
Pour les valeurs de R_x supérieures à R_m, la formule n'est plus calculable, la valeur R_m² - R_x² dans le logarithme népérien étant négative.

 

Pavillons de BESSEL :

La formule utilisée est S = SG * ( M * X )^b dont le pavillon conique avec b = 1, où encore les pavillons paraboliques avec b < 1, constituent des cas particuliers.
Peu intéressants en général.

 

Autre pavillon :

Il existe des expansions de pavillon, tel le pavillon IWATA, dont la forme d'expansion reste mystérieuse et souvent incomprise.
Il faut faire entrer une notion de plus, le report des surfaces calculées dans le plan.
Suivant que vous allez reporter des surfaces planes, cylindriques, sphériques, JMLC ou temporelles, vous n'aurez pas la même forme du pavillon en fonction du même calcul initial.
Le chapitre sur le report des surfaces vous explique la subtilité de passer du calcul au plan : si vous n'avez pas une bonne CAO, et le savoir-faire en dessin industriel, certains reports ne vous seront pas accessibles.

Le pavillon IWATA, si vous l'étudiez avec des surfaces temporelles, il y a beaucoup moins de mystères, même si la loi d'expansion n'est pas "cassée " complètement.
À moins que ce soit des erreurs, volontaires ou pas, sur le plan initial...

 

Volume de la chambre de compression :

La chambre de compression et un petit volume entre la membrane et le début du pavillon.
Ce n'est pas le volume clos à l'arrière du haut-parleur ou de la compression.

La chambre de compression se comporte comme un filtre passe-bas, avec une fréquence de coupure Fch.
Aussitôt que la longueur d'onde émise par le haut-parleur est voisine des dimensions de la chambre de compression, il y a une atténuation de l'onde transmise (réflexions : 6dB/octave).

Le volume de la chambre de compression doit être en théorie tel que :
Vc = C * Sg / ( 2 * pi * Fch ) avec
Fch : fréquence de coupure haute.
Vc : volume de la chambre de compression.

Le volume de la chambre de compression doit être (autre formule issue de la théorie) tel que :
E = C * Sg / ( 2 * pi * Fch * Sd ),
ceci lorsque la section de la chambre de compression est circulaire d'un diamètre égal à celui du haut-parleur (elle épouse donc la surface projetée d'émission de celui-ci).
E est simplement l'épaisseur pour une telle chambre de compression.

Si nous prenons un haut-parleur de 30 cm avec Sd = 530 cm²
monté dans un pavillon avec Sg = 0.64 * SM = 338 cm²
pour monter dans le médium jusqu'a 1000 Hz
Vc = 1850 cm³ = 1.85 L
E = 3.5 cm.

 

La surface de bouche minimum :

Pour rayonner correctement une longueur d'onde, la circonférence à la surface de bouche doit être égale à la longueur d'onde.
C'est très facile pour les médiums et aigu, impossible ou très encombrant pour les graves...
Nous sommes dans le cas théorique ou N = 1, avec une diffusion dans l'espace dans 4 * pi stéradian.
Explication de rayonnement 4Pi, 2Pi, pi et pi/2 par True Audio.

Pour les graves, utilisez le sol et deux murs (N = 8, pour un angle solide d'émission de pi / 2 stéradians) en plaçant le pavillon en encoignure comme pour une Klispchorn, c'est la seule solution "efficace"
Le pavillon vertical d'encoignure est une autre possibilité, à condition de tenir compte de la hauteur du plafond, et de faire la pièce de bois entre-le pavillon et le plafond.

Les pavillons de graves de type "estrade", sont une alternative, avec N = 4 pour un angle solide d'émission de pi stéradian.
Vous trouverez sa description sur le forum Melaudia.
L'appui contre le mur latéral et le sol sont indispensables pour bien avoir un N = 4.

Le tableau ci-après donne les valeurs de 16 à 5000 Hz, avec un échelonnement en 1/3 d'octave.
La célérité du son dans l'air est égale à 344 m/s.

 

Formule de calculs :

C = 344 m/s.
Longueur d'onde = C / F.

Pour N = 1
Diamètre = Longueur d'onde / pi.
Surface_théorique = pi * Diamètre² / 4.

Pour N = 1, 2, 4 ou 8.
Surface_pratique = Surface_théorique / N.
Diamètre = racine( Surface_pratique * 4 / pi ).
Côté du carré = racine( Surface_pratique ).

La surface pratique est réduite de la surface théorique par un facteur N dont le coefficient est fonction de l'angle solide d'émission.

• N = 1 pour un diffusion dans l'espace ( Angle solide = 4 * pi ), pavillons pour médiums et aigus.
• N = 2 pour un diffusion frontale ( Angle solide = 2 * pi ), cas général des pavillons de graves posés au sol.
• N = 4 pour une diffusion posée au sol et appuyée contre un mur ( Angle solide = 1 * pi ).
• N = 8 pour une diffusion en encoignure avec le sol et 2 murs ( Angle solide = pi / 2 ).

 

Annuler la réactance du pavillon à la bouche :

T_opt = 2 * pi * Fs / Fcb² * Vas / Sg / C * 10
avec
Fcb = Fréquence de coupure basse souhaitée.
Fs = fréquence de résonance à l'air libre du haut-parleur. (Voir les T&S du haut-parleur).
Vas = Volume d'air équivalent à l'élasticité de la suspension en L, voir les T&S du haut-parleur.
Sg = surface de gorge en cm².
10 est le résultat des 1/10000 pour passer de cm2 en m2, et des 1/1000 pour passer les L en m³, 10000 / 1000 = 10.
C = Célérité de l'air, environ 344 m/s.

Si vous voulez faire un pavillon avec T = choisi, alors Sg = 2 * pi * Fs / Fcb² * Vas / T / C * 10.

 

Calculs inversés :

Cette méthode de calcul est utilisée pour la vérification d'un pavillon existant, à partir des équations du pavillon exponentiel qui sont beaucoup plus simples dans ce cas.

 

Vous connaissez :

• La surface de sortie du pavillon, S en cm².
• La surface d'entrée du pavillon, SG en cm².
• La longueur du pavillon, X en m.

 

Calcul du coefficient M :

M = 1 / X * LOGN ( S / SG ), avec :
LOGN = Logarithme népérien, noté LN sur votre calculatrice.

Exemple, un pavillon de médium avec SG = 4.9 cm², S = 491 cm², X = 0.2 m.
M = 1 / 0.2 * LOGN ( 491 / 4.9 ) = 23.036 m^-1

 

Calcul de la fréquence F :

F = C * M / 4 / PI

Dans l'exemple ci-dessus, F = 344 * 23.036 / 4 / PI = 630.6 Hz.
En pratique cela fait un pavillon utilisable à 2.5 * 630.6 = 1500 Hz environ.

 

Vous connaissez :

• La surface de sortie du pavillon, S en cm².
• La surface d'entrée du pavillon, SG en cm².
• Le coefficient M.

 

Calcul de la longueur X :

X = 1 / M * LOGN ( S / SG ), avec :
LOGN = Logarithme népérien, noté LN sur votre calculatrice.

Exemple, un pavillon de médium avec SG = 4.9 cm², S = 41.85 cm², M = 21.918 m^-1.
X = 1 / 21.918 * LOGN ( 41.85 / 4.9 ) = 0.098 m = 9.8 cm.

 

Un cas parmi d'autres :

Imaginez que vous aviez conçu un pavillon hyperbolique avec T = 0.707, et que la simulation avec Hornresp vous montre que c'est idéal avec T = 1.000 :
Pour retoucher au minimum les plans, vous allez garder la surface de gorge SG, la surface de bouche S, la longueur totale X, et vous allez recalculer le pavillon avec un nouveau coefficient M, et une loi exponentielle.
Les formules ci-dessus vous disent comment calculer le nouveau coefficient M, la fonction "valeur cible" d'Excel vous évite tout calcul.

Quelle est la différence de profil au milieu du pavillon ?
L'exemple prend pour base un pavillon hyperbolique T = 0.707, calculé à 60 Hz, avec SG = 1058 cm2 et une longueur de 93 cm.
Le pavillon exponentiel a une surface plus grande de 5% à la longueur de 60 cm. Il est calculé à 51.98 Hz.
Retoucher un plan sera facile.

 

Et avec Hornresp ?

Hornresp est un logiciel de simulation des pavillons, dont les résultats m'ont sérieusement ébranlé, parce qu'ils ne sont pas en accord avec la partie précédente du chapitre.
Entre des théories plus ou moins justes, et une simulation avec un logiciel qui a fait ses preuves, la vérité est la simulation...
La mode d'emploi de Hornresp en téléchargement, parce qu'il ne faut pas le perdre, et qu'il est trop gros pour être affiché dans le chapitre.

 

Quelle valeur de T ?

J'ai calculé 5 pavillons différents, même haut-parleur, même surface de gorge, même fréquence de calcul, même surface de bouche, mais avec 5 coefficients T différents.
Il y a deux haut-parleurs RCF MB 10G251, montés côte à côte et branchés en parallèle.
La surface de gorge est de 528 cm², la loi d'expansion est calculée à 60 Hz avec T = 0.707, longueur du pavillon 96 cm, pas de calcul 3 cm.

L'outil de calcul de la loi d'expansion est en bas de ce chapitre, pour les paramètres du haut-parleur équivalent il faut utiliser l'outil de calcul des pavillons avec :
1/4 - la référence contient : 10G251.
2/4 - cliquez dans le rond face au MB 10G251. Sélectionnez 2 HP montés côte à côte et branchés en parallèle.
3/4 - recopiez les valeurs ci-dessous.
4/4 - les T&S du haut-parleur équivalent, et le tableau avec les couples de valeurs (distance, surface).

Les paramètres de départ avec des surfaces temporelles de la solution retenue sont :

 

 

Hypothèse du pavillon infini :

 

Hypothèse pavillon dans 2Pi stéradian :

 

Je m'aperçois qu'avec Hornresp tous les pavillons descendent presque jusqu'à la fréquence de calcul, les coefficients 2.5 pour T > 1.000 et 1.5 pour T < 0.707 ne se vérifient pas.
Ce qui se vérifie bien, c'est une descente à 80 Hz à -1 dB pour un calcul à 60 Hz, environ 1.3 fois la fréquence de calcul.
Si on regarde les choses à -3 dB, c'est à peu de chose près la fréquence de calcul.

La meilleure impédance acoustique est obtenue pour T = 1.000, ce qui conduit à une longueur de pavillon plus courte qu'avec T = 0.707 ou T = 0.500.
Je ne chercherai plus, je ferai des pavillons exponentiels avec T = 1.000, et avec la fréquence de coupure égale à 1.3 x la fréquence de calcul.

Le T n'a aucune influence sur la fréquence de coupure en passe-bas, qui ne dépend que du Qts du haut-parleur, Qts qui doit rester aussi faible que possible si vous voulez monter dans le médium.

 

Quelle surface de bouche ?

J'ai calculé 4 pavillons différents, même haut-parleur, même surface de gorge, même fréquence de calcul, même coefficient T, 4 surfaces de bouche différentes.

 

 

Un pavillon trop petit en surface est moins bon sur la courbe d'impédance acoustique.
Passé un seuil, augmenter la surface ce sert plus à rien.
La simulation avec Hornresp indiquera le seuil à chaque fois.

 

Quel volume clos ?

J'ai calculé 6 pavillons différents, même haut-parleur, même surface de gorge et de bouche, même fréquence de calcul, même coefficient T, avec différents volumes clos :

 

 

Quand le volume est trop petit, la bande passante est limitée dans le grave.
Quand le volume est trop grand, la courbe d'impédance devient très pointue, et de valeur très élevée : 120 Ohms dans 240 L, 16 Ohms dans 15 L, 19 Ohms dans 78 L.
La bonne solution n'est-elle pas celle qui donne l'impédance électrique calculée identique à l'impédance à vide des haut-parleurs ? Volume clos = 78 L dans notre exemple.
Seule la simulation avec Hornresp pourra vous donner le volume, les mêmes haut-parleur dans une enceinte close de 78 L ont une Fc à 112 Hz. On oublie au plus vite le calcul en enceinte close !!!

 

Liens :

• Design of a front loaded exponential horn by Martin J. KING.
• Le site de John Inlow sur les pavillons de toutes sortes.
• Pavillon aspect théorique, un peu de théorie.

 

Une aide au calcul :

Un tableur : Calcul d'un pavillon, 1/4 à 4/4 vous aidera dans les calculs si vous partez d'un haut-parleur.

 

Calcul d'une loi d'expansion :

Expansion du pavillon :
Fréquence de coupure basse Fcb en Hz :
Fréquence de calcul de la loi d'expansion :
Coeficient T de calcul de la loi d'expansion :
Entrez la Surface Sg de gorge en cm2 :
Longueur et pas de calcul :
Entrez la Longueur Lg du calcul du pavillon en cm :
Entrez le Pas de calcul du pavillon en cm :
Pavillon rond :
Pas de paramètre à entrer, le calcul sera fait automatiquement
Pavillon rectangulaire :
Rapport largeur / hauteur de la Gorge :
Rapport largeur / hauteur de la Bouche :
Pavillon rectangulaire de hauteur constante :
Hauteur constante de la gorge à la Bouche :
Nombre de secteurs :

 

 

 

Dôme Acoustique