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Directivité des Haut-parleurs

Mise à jour : 2009-10-17.

Rédigé par un internaute qui m'a demandé expressément l'anonymat, puis avec la participation active de Cyrille.

Théorie :

Un ou plusieurs théoriciens dont je n'ai pas les noms ont résolus l'étude théorique du haut-parleur électrodynamique.

Par hypothèse et simplification, Il assimile la membrane du haut-parleur à un piston circulaire, rigide, plat, mince et de rayon a. Ce piston est animé d'un mouvement oscillatoire selon un axe normal à sa surface.

Les résultats de cette étude théorique montrent clairement qu'il y a une augmentation de la directivité de l'émission acoustique avec l'augmentation de la fréquence :

• Lorsque la circonférence de la membrane est plus petite que la longueur d'onde, le piston n'est pratiquement pas directif,

• La directivité devient appréciable dès lors que la longueur d'onde (l) est voisine de la demi circonférence du haut-parleur (l > 3,1416 a).

Pour rappel, l = C / F avec C vitesse du son (343.4 m/s à 20° Celcius) et F la fréquence.

Exemples :

• Pour un haut parleur de 380mm, l > 0,60 m, soit une fréquence de 570 Hz.

• Pour un haut-parleur de 20mm, l > 0,031 m, soit une fréquence de 10 800 Hz.

Dès que l = 1,64a, des lobes secondaires apparaissent. Pour les spécialistes, ceci correspond au premier zéro de la fonction de Bessel de degré 1, trouvée lors de la résolution de l'équation différentielle qui décrit le comportement du piston. Pour cette longueur d'onde précise le haut parleur est directif, mais cette directivité est compensée par l'apparition de lobes secondaires.

En fonction de l'augmentation de la fréquence, il y a une alternance de ventres (émissions peu directive) et de noeuds (émissions nulles). Cette modulation de la directivité, importante au début, s'atténue de plus en plus avec l'augmentation de la fréquence. Pour les hautes fréquences et les très hautes fréquences, la théorie montre très clairement qu'un piston rigide, est alors très directif.

L'explication physique du phénomène est la suivante :

Pour les basses fréquences, le mécanisme d'interférence n'introduit pas de différences de phases suffisantes entre les différents éléments de la membrane car la longueur d'onde est supérieure aux dimensions de la membrane. Le haut parleur rayonne dans toutes les directions, il n'est pas directif.

Pour les fréquences élevées, chaque élément dS de la membrane (piston plat de surface S) rayonne une onde élémentaire qui va donner lieu à une vibration générale en phase seulement dans des directions voisines de l'axe normal de la surface S. Dans les directions inclinées par rapport à cet axe normal tout s'éteint par interférences, seulement et d'autant plus si l'écartement entre les points élémentaires dS est inférieur à la longueur d'onde. Le mécanisme d'interférence joue d'autant mieux que la fréquence est élevée et donc que la longueur d'onde est petite (ou la fréquence est grande) par rapport aux dimensions de la membrane.

Pratique :

Dans la pratique une membrane de haut-parleur ne peut être considérée rigide que lorsqu'elle reproduit des basses fréquences.
Aux fréquences plus élevés la membrane est un subtile compromis entre :

• La masse et la quantité de matériaux de la membrane.

• La méthode de fabrication de cette membrane qui change, a masse égale, la rigidité.

• Les liants utilisés dans la membrane.

• La forme de la membrane, le profil exponentiel étant généralement plus rigide.

• Les corrugations qui permettent de contrôler le fractionnement.
  Elles peuvent être soient simplement plus épaisses d'un cotés, ou creusée proportionnellement sur la face arrière.
  Suivant les cas elles font office de ressorts ou de masse, elles créent un chaîne masse ressort dans le sens radial de la membrane permettant un fractionnement contrôlé et progressif de la membrane.
  Ceci d'autant plus qu'elles rigidifient la membranes dans le sens axial

La membrane perd son comportement rigide quand la fréquence augmente (diminution de la longueur d'onde), elle se fractionne. On tombe ici dans les théories classiques de la mécanique vibratoire des plaques.

Il n'y a plus alors de mouvement d'ensemble de la membrane. Seule la zone de la membrane proche de la bobine mobile (et plus particulièrement là où la membrane est collée à la bobine mobile) arrive véritablement à suivre les mouvements imposés par le moteur du haut-parleur. Plus exactement, c'est cette zone dont on perd le contrôle en dernier.

Le reste de la membrane vibre de façon d'autant plus incontrôlée que la surface dS considérée est éloignée de la zone centrale du haut-parleur.
Le pourtour de la membrane qui est collé à la suspension périphérique est nettement rigidifié et ne vibre plus à partie d'une certaine fréquence (variable suivant la membrane, la suspension et le collage).
Cette mauvaise coordination d'ensemble se traduit par une aggravation de l'extinction des ondes de cisaillement comme le démontre la théorie du piston rigide.

Les ondes de cisaillements parcourant la membrane dans le sens radial, sont d'autant plus amorties que la membrane est « molle ». L'avantage va ici aux membranes relativement souples, séchées, ou au traitement de surface ou autres.
Ce mécanisme joue d'autant plus que l'on s'éloigne de la zone centrale du haut-parleur (autour de la bobine mobile) et que la longueur d'onde à reproduire est petite (les fréquences augmentent).

Ainsi dans la pratique une membrane au fractionnement progressif et/ou contrôle deviens directive beaucoup plus tard du fait que la surface rayonnante de la membrane est diminuée.

Directivité d'un système HI-FI dans une pièce :

Je voudrai illustrer le besoin d'une certaine directivité avec l'exemple de mon système dans ma pièce d'écoute.

Annexe :

Célérité du son et Masse volumique de l'air humide

Mise à jour : 2010-06-15.

Pour le non-spécialiste, la célérité du son c'est la vitesse du son dans l'air.
La célérité du son C est d'environ 344 m/s et la densité de l'air  Ro de 1.18 Kg/m³. Ce sont les valeurs trouvées dans les livres sur les haut-parleurs.
La pratique est un peu différente...

Je retiendrai comme valeur par défaut pour les calculs C=343.877 m/s et Ro=1.193 Kg/m3 qui correspondent à une température de 20° C, une altitude de 50 m et à 40% d'humidité relative..
Si vous êtes sous les tropiques, en altitude,  je vous invite à prendre les valeurs qui correspondent à votre cas.

La nouvelle version de ce chapitre a vu le jour avec l'aide active d'un Internaute qui m'a fourni un fichier EXCEL, et que j'ai utilisé pour passer le calcul en PHP, formule par formule. Les vérifications ont été effectuées.
Le prénom et l'adresse email de cet Internaute ne seront pas indiqués à sa demande, mais je les conserve soigneusement dans le fichier EXCEL.

Variation de la pression avec l'altitude :

La pression de référence au niveau de la mer à 0 m et à 15°C est de : P_sol = 1013.25 hPa = 101325 Pa.
Cette pression varie avec l'altitude exprimée en m : P_alti = P_sol * ( 1 - 22.5577*10^-6 * Altitude )^5.25588
Cette méthode est utilisée par l'aviation civile, et nous conviendra parfaitement. La précision utilisée est supérieure à celle de WIKIPEDIA.
La validité de cette formule est jusqu'a 11 000 m.

J'ai limité le calcul de -300 à 4 000 m. Pour 50 m d'altitude, P_alti = 100725.8 Pa.

Température absolue :

La température absolue est la température en degré CELSIUS + 273.15°.

J'ai limité le calcul de 0° C à 50° C. Pour 20° C, T_abs = 293.15°

Humidité relative :

L'humidité relative varie de 0 à 100%.

Pour les calculs J'ai retenu 40% par défaut, après avoir mesuré la valeur chez moi.
L'hiver je suis très souvent en dessous grâce au chauffage.
L'été, quand un orage arrive, la valeur est plus élevée.

Constantes :

Constante de Boltzmann = 1.3806504 * 10^-23 J.K^-1
Nombre d'Avogadro = 6.02214177 * 10²⁶ mol^-1
La constante universelle des gaz parfait est le produit des deux. CUGP = 8314.47 J.mol^-1.K^-1

Air sec :

Air sec	Masse molaire	Quantité	Masse
Unité	g.mol-1	% en volume	g.mol-1
O2	31.9988	21	6.7198
N2	28.0134	78.1	21.8785
Divers	40	0.9	.0.3600
Total		100	28.96

Constante pour air sec = 8314.47 / 28.96 = 287.12 J.Kg^-1.K^-1
Masse volumique pour l'air sec = 100725.8 / ( 287.12 * 293.15 ) = 1.20 Kg/m³
Célérité pour l'air sec = racine( 100725.8 * 1.4 / 1.20 ) = 343.27 m/s

Coefficient isentropique γ = 1.4
Pour les puristes, et pour faire une mise à jour ultérieure. Seul le résultat 28.97 est utilisé.

Vapeur :

Vapeur	Masse molaire	Quantité	Masse
Unité	g.mol-1	% en volume	g.mol-1
H2	2.016	100	2.016
O	15.994	100	15.994
Total		100	18.01

Constante pour vapeur = 8314.47 / 18.01 = 461.52 J.Kg^-1.K^-1
Masse volumique pour la vapeur = 100725.8 / ( 461.52 * 293.15 ) = 0.74 Kg/m³
Célérité pour la vapeur = racine( 100725.8 * 1.4 / 0.74 ) = 435.22 m/s

H₂O :

Pression partielle de H₂O : EXP(( -27405.526 + 97.5413 * T_abs - 0.146244 * 293.15² + 0.00012558 * 293.15³ - 0.000000048502 * 293.15⁴ ) /
( 4.34903 * 293.15 - 0.0039381 * 293.15² ) + LOG( 22105649.25 ))
Pour 20° C, la pression partielle de H₂O = 2336.30 Pa

MasseH₂O : ( 287.12 * 2336.30 * 40 / 100 ) / ( 461.52 *( 100725.8 - 2336.30 * 40 / 100 )) = 0.00583

C et Ro :

Ro = (( 1 + 0.00583 ) * ( 100725.8 / 293.15 )) / ( 287.12 + ( 461.52 * 0.00583 )) = 1.193 Kg/m³

C = racine( 100725.8 * 1.4 / 1.193 ) = 343.877 m/s

Tableau récapitulatif :

Vous verrez ce tableau dans pratiquement tous les calculs réalisés avec la base de données.
Si vous changez les valeurs par défaut pour adapter le calcul à votre cas, vous aurez des valeurs calculées différentes.
Rappel, le calcul marche de 0° C à 50° C, de -300 m à 4000 m, et de 0% à 100% d'humidité relative.

Masse volumique de l'air humide :

A partir du 17/04/2010, les modifications sur le calcul de C et Ro, appliquée dans la base de données, ne correspondent pas aux explications ci-dessous. Mise à jour en court.
La meilleure preuve sont les valeurs par défaut ci-dessus.

Table utilisée dans la Base de données haut-parleurs, pour des températures entre 0° C et 45° C.

Ts	100% Hr	90% Hr	80% Hr	70% Hr	60% Hr	50% Hr	40% Hr	30% Hr	20% Hr	10% Hr	1% Hr
En °C	Ro en Kg/m3
0 °C	1.289	1.290	1.290	1.290	1.290	1.291	1.291	1.291	1.292	1.292	1.292
1 °C	1.284	1.285	1.285	1.285	1.286	1.286	1.286	1.287	1.287	1.287	1.288
2 °C	1.279	1.280	1.280	1.281	1.281	1.281	1.282	1.282	1.282	1.283	1.283
3 °C	1.275	1.275	1.275	1.276	1.276	1.276	1.277	1.277	1.277	1.278	1.278
4 °C	1.270	1.270	1.271	1.271	1.271	1.272	1.272	1.272	1.273	1.273	1.274
5 °C	1.265	1.265	1.266	1.266	1.267	1.267	1.267	1.268	1.268	1.269	1.269
6 °C	1.260	1.261	1.261	1.261	1.262	1.262	1.263	1.263	1.264	1.264	1.264
7 °C	1.255	1.256	1.256	1.257	1.257	1.258	1.258	1.259	1.259	1.260	1.260
8 °C	1.250	1.251	1.251	1.252	1.252	1.253	1.253	1.254	1.254	1.255	1.255
9 °C	1.246	1.246	1.247	1.247	1.248	1.248	1.249	1.249	1.250	1.251	1.251
10 °C	1.241	1.241	1.242	1.243	1.243	1.244	1.244	1.245	1.245	1.246	1.246
11 °C	1.236	1.237	1.237	1.238	1.239	1.239	1.240	1.240	1.241	1.242	1.242
12 °C	1.231	1.232	1.233	1.233	1.234	1.235	1.235	1.236	1.236	1.237	1.238
13 °C	1.227	1.227	1.228	1.229	1.229	1.230	1.231	1.231	1.232	1.233	1.234
14 °C	1.222	1.223	1.223	1.224	1.225	1.226	1.226	1.227	1.228	1.229	1.229
15 °C	1.217	1.218	1.219	1.220	1.220	1.221	1.222	1.223	1.223	1.224	1.225
16 °C	1.212	1.213	1.214	1.215	1.216	1.217	1.217	1.218	1.219	1.220	1.221
17 °C	1.208	1.209	1.210	1.210	1.211	1.212	1.213	1.214	1.215	1.216	1.217
18 °C	1.203	1.204	1.205	1.206	1.207	1.208	1.209	1.210	1.211	1.211	1.212
19 °C	1.198	1.199	1.200	1.201	1.202	1.203	1.204	1.205	1.206	1.207	1.208
20 °C	1.194	1.195	1.196	1.197	1.198	1.199	1.200	1.201	1.202	1.203	1.204
21 °C	1.189	1.190	1.191	1.192	1.193	1.194	1.196	1.197	1.198	1.199	1.200
22 °C	1.184	1.185	1.187	1.188	1.189	1.190	1.191	1.192	1.194	1.195	1.196
23 °C	1.179	1.181	1.182	1.183	1.184	1.186	1.187	1.188	1.189	1.191	1.192
24 °C	1.175	1.176	1.177	1.179	1.180	1.181	1.183	1.184	1.185	1.187	1.188
25 °C	1.170	1.171	1.173	1.174	1.176	1.177	1.178	1.180	1.181	1.183	1.184
26 °C	1.165	1.167	1.168	1.170	1.171	1.173	1.174	1.176	1.177	1.178	1.180
27 °C	1.160	1.162	1.164	1.165	1.167	1.168	1.170	1.171	1.173	1.174	1.176
28 °C	1.156	1.157	1.159	1.161	1.162	1.164	1.165	1.167	1.169	1.170	1.172
29 °C	1.151	1.153	1.154	1.156	1.158	1.160	1.161	1.163	1.165	1.166	1.168
30 °C	1.146	1.148	1.150	1.151	1.153	1.155	1.157	1.159	1.161	1.163	1.164
31 °C	1.141	1.143	1.145	1.147	1.149	1.151	1.153	1.155	1.157	1.159	1.161
32 °C	1.136	1.138	1.140	1.142	1.144	1.146	1.149	1.151	1.153	1.155	1.157
33 °C	1.131	1.133	1.136	1.138	1.140	1.142	1.144	1.146	1.149	1.151	1.153
34 °C	1.126	1.129	1.131	1.133	1.136	1.138	1.140	1.142	1.145	1.147	1.149
35 °C	1.121	1.124	1.126	1.129	1.131	1.133	1.136	1.138	1.141	1.143	1.145
36 °C	1.116	1.119	1.122	1.124	1.127	1.129	1.132	1.134	1.137	1.139	1.142
37 °C	1.111	1.114	1.117	1.119	1.122	1.125	1.127	1.130	1.133	1.135	1.138
38 °C	1.106	1.109	1.112	1.115	1.118	1.120	1.123	1.126	1.129	1.132	1.134
39 °C	1.101	1.104	1.107	1.110	1.113	1.116	1.119	1.122	1.125	1.128	1.131
40 °C	1.096	1.099	1.102	1.105	1.109	1.112	1.115	1.118	1.121	1.124	1.127
41 °C	1.091	1.094	1.098	1.101	1.104	1.107	1.111	1.114	1.117	1.120	1.124
42 °C	1.086	1.089	1.093	1.096	1.099	1.103	1.106	1.110	1.113	1.117	1.120
43 °C	1.081	1.084	1.088	1.091	1.095	1.099	1.102	1.106	1.109	1.113	1.116
44 °C	1.075	1.079	1.083	1.087	1.090	1.094	1.098	1.102	1.105	1.109	1.113
45 °C	1.070	1.074	1.078	1.082	1.086	1.090	1.094	1.098	1.102	1.106	1.109

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