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Simulations et limites

Mise à jour : 2010-06-20.

Simulations :

La simulation en bass-reflex permet de calculer pour un haut-parleur, monté dans un volume et avec un accord donné par l'évent :

• La courbe de réponse.

• La courbe de déplacement de la membrane (élongation).

• La courbe d'impédance.

Il est possible, a partir de ces trois courbes de base, de sortir d'autres informations tel que le déplacement maxi au dessus de FB, la puissance maxi admissible, la limite mécanique, etc.
Toutes ces équations sont rentrées une bonne fois dans mes feuilles de calcul téléchargeable. C'est une bonne chose compte tenu des risques d'erreur entre les parenthèses, indices et exposants.

Données haut-parleur :

• Fs en Hz. C'est la Fréquence de résonance à l'air libre du haut-parleur.
• VAS en m³. C'est le volume d'air équivalent à l'élasticité de la suspension.
• Qes. C'est le coefficient de surtension électrique.
• Qms. C'est le coefficient de surtension mécanique.
• Qts. C'est le coefficient de surtension total = Qms x Qes / ( Qms + Qes )
• Re en Ohms. C'est la résistance au courant continu de la bobine.
• BL en N/A. C'est le facteur de force du haut-parleur.
• Sd en m². C'est la surface émissive de la membrane.

Données de l'enceinte :

• FB en Hz. C'est la Fréquence d'accord de l'évent.
• VB en m3. C'est le volume utile de l'enceinte, sans le volume de l'évent ni du haut-parleur.

Données sur l'air :

• C en m/s. C'est la vitesse de l'air = 343.4 m/s à 31 m d'altitude.
• Ro en Kg/m³ : c'est la densité de l'air = 1.200 Kg/m³ à 40% d'humidité relative et 20° Celsius.

Calcul indépendant de la Fréquence :

• H = FB / Fs
• A = VAS / VB
• P = 1 W = Puissance de calcul
• Ug = RACINE ( Re x P )

Calcul pour chaque Fréquence F :

Dans la base de données, j'utilise un espacement constant entre deux fréquences de calcul.
L'espacement retenu est en 1/144^e d'octave. F_N+1 = F_N x 2^1/144
La raison est simple : la partie graphique fait 720 pixels sur 5 octaves (de 10 Hz à 320 Hz). 720 / 5 = 144 points/octave.
Ce n'est pas un hasard si mes graphiques sont particulièrement précis : Le serveur PHP ou est hébergé ce site est plus puissant que votre PC...

Calcul de l'impédance :

• F1=F/Fs
• D2=RACINE((1-F1²x(1+(1+A)/H²+1/(HxQBxQms))+F1⁴/H²)²+(F1x(1/H/QB+1/Qms)-F1³x(1/Qms/H²+1/H/QB))²)
• Z=Re*RACINE((1-F1²x(1+(1+A)/H²+1/H/QB/Qms+1/Qes/H/QB)+F1⁴/H²)²+(F1*(1/H/QB+1/Qms+1/Qes)-F1³x(1/Qms/H²+1/H/QB+1/H²/Qes))²)/D2

Calcul de la courbe de réponse :

• D1=RACINE((1-F1²x(1+(1+A)/H²+1/(HxQBxQts))+F1⁴/H²)^2+(F1x(1/H/QB+1/Qts)-F1³x(1/Qts/H²+1/H/QB))²)
• G=F1⁴/H²/D1
• G_dB=20xLOG(G)

Calcul de l'élongation :

• X1=ABS(H²/F1²-H⁴/F1⁴)*G
• X=1000xX1xU_G/(2xPIxHxFsxQes*BL) Le 1000 est pour avoir un résultat en mm.

L'élongation est calculée à U_g = 2.83 V.
( Racine(8) V pour être exact. 2.83 V font 1 W si l'impédance est exactement de 8 Ohms : P = U² / Z = 2.83² / 8 = 1 W )
Des fonctions EXCEL permettent de trouver le maximum de la courbe d'élongation au dessus de l'accord FB : F(X_MAX), puis de calculer la puissance à appliquer pour se mettre au maximum de l'élongation admissible par le haut-parleur.
Une nouvelle courbe d'élongation X_MAX est recalculée pour chaque Fréquence F1.

Les résultats de ce modèle de calcul ont été comparés avec les logiciels LSPCAD ou WINISD sans écarts significatifs.

Un point très important :

Il est totalement illusoire de vouloir tirer des conclusions avec un haut-parleur à grande élongation dans un faible volume et avec une puissance énorme, avec le modèle de calcul utilisé dans ce site, et probablement avec les logiciels du commerce actuellement disponible.
Ce point est trop souvent systématiquement oublié.

Les limites de la simulation :

Plusieurs raisons font que les simulations ne marchent pas toujours comme souhaité :

Les données électromécanique du HP :

Les données électromécaniques du haut-parleur fournies par le constructeur, ne sont pas les données réelles mesurées sur un ou deux exemplaires du haut-parleur en votre possession.
C'est l'écart le plus important, qui est la plus grande source d'erreur.
Les fabrications en série entraînent des dispersions sur les caractéristiques.
Les fabricants sont plus ou moins sérieux dans leurs annonces.
Il faudrait toujours travailler avec des données mesurées, a condition de ne pas se planter lors de la mesure ce qui est un autre problème.
Le chapitre Des données haut-parleurs justes vous aidera a y voir clair.

Le rodage :

Les données électromécaniques du haut-parleur varient avec le rodage de celui-ci.
Il est prudent d'attendre 200 ou 300 heures d'utilisation avant de mesurer ses haut-parleurs, pour être sur que les données électromécanique ne varieront plus.

Le filtre passif :

La non prise en compte du filtre passif dans les paramètres du haut-parleur pour la simulation :
La résistance des selfs en série avec un haut-parleur de grave modifie le Qes et le Qts du haut-parleur.
Un haut-parleur ayant un Qts de 0.30 sans le filtre passif, passe facilement à un Qts de 0.35 si la coupure est assez basse.
La simulation est différente entre un Qts de 0.30 et un Qts de 0.35, même si Fs et VAS ne changent pas.
Le chapitre Des données haut-parleurs justes vous aidera a y voir clair.

Le facteur d'amortissement de l'ampli :

La non prise en compte de la résistance interne de l'ampli :
Elle est dans de nombreux cas totalement négligeable, mais certain ampli à tubes ou a transistors sont assez particuliers à ce niveau.
Il est techniquement possible de faire des amplis avec une résistance interne négative, qui abaisse le Qts du haut-parleur.
Le chapitre Des données haut-parleurs justes vous aidera a y voir clair.

Déplacement de la membrane :

Le logiciel de simulation n'est valable que pour les petits déplacements de la membrane, pour quelques mW de puissance.
La première conséquence est que le niveau SPL maxi calculé est faux.
La deuxième conséquence est que le calcul d'un caisson de graves qui vous donne par exemple du 25 Hz à -3 dB avec 15 mm de déplacement de la membrane est aléatoire.

Autres raisons :

Un certain nombre de paramètres ne sont pas pris en compte :

• JBL annonce une diminution de 3.5 à 4.5 dB du niveau maxi en sono à cause de l'échauffement de la bobine mobile du haut-parleur.

• La compression de l'air dans l'enceinte n'est pas prise en compte dans les logiciels de simulation car elle est non linéaire.

• Le champs magnétique de l'aimant disponible au niveau de la bobine mobile n'est pas toujours constant avec le déplacement de cette bobine, n'y symétrique en fonction du sens de déplacement.

Malgré toutes ces limites la simulation reste valable, surtout en comparaison de plusieurs solutions avec le même niveau d'erreur entre les solutions.

Annexe :

Célérité du son et Masse volumique de l'air humide

Mise à jour : 2010-06-15.

Pour le non-spécialiste, la célérité du son c'est la vitesse du son dans l'air.
La célérité du son C est d'environ 344 m/s et la densité de l'air  Ro de 1.18 Kg/m³. Ce sont les valeurs trouvées dans les livres sur les haut-parleurs.
La pratique est un peu différente...

Je retiendrai comme valeur par défaut pour les calculs C=343.877 m/s et Ro=1.193 Kg/m3 qui correspondent à une température de 20° C, une altitude de 50 m et à 40% d'humidité relative..
Si vous êtes sous les tropiques, en altitude,  je vous invite à prendre les valeurs qui correspondent à votre cas.

La nouvelle version de ce chapitre a vu le jour avec l'aide active d'un Internaute qui m'a fourni un fichier EXCEL, et que j'ai utilisé pour passer le calcul en PHP, formule par formule. Les vérifications ont été effectuées.
Le prénom et l'adresse email de cet Internaute ne seront pas indiqués à sa demande, mais je les conserve soigneusement dans le fichier EXCEL.

Variation de la pression avec l'altitude :

La pression de référence au niveau de la mer à 0 m et à 15°C est de : P_sol = 1013.25 hPa = 101325 Pa.
Cette pression varie avec l'altitude exprimée en m : P_alti = P_sol * ( 1 - 22.5577*10^-6 * Altitude )^5.25588
Cette méthode est utilisée par l'aviation civile, et nous conviendra parfaitement. La précision utilisée est supérieure à celle de WIKIPEDIA.
La validité de cette formule est jusqu'a 11 000 m.

J'ai limité le calcul de -300 à 4 000 m. Pour 50 m d'altitude, P_alti = 100725.8 Pa.

Température absolue :

La température absolue est la température en degré CELSIUS + 273.15°.

J'ai limité le calcul de 0° C à 50° C. Pour 20° C, T_abs = 293.15°

Humidité relative :

L'humidité relative varie de 0 à 100%.

Pour les calculs J'ai retenu 40% par défaut, après avoir mesuré la valeur chez moi.
L'hiver je suis très souvent en dessous grâce au chauffage.
L'été, quand un orage arrive, la valeur est plus élevée.

Constantes :

Constante de Boltzmann = 1.3806504 * 10^-23 J.K^-1
Nombre d'Avogadro = 6.02214177 * 10²⁶ mol^-1
La constante universelle des gaz parfait est le produit des deux. CUGP = 8314.47 J.mol^-1.K^-1

Air sec :

Air sec	Masse molaire	Quantité	Masse
Unité	g.mol-1	% en volume	g.mol-1
O2	31.9988	21	6.7198
N2	28.0134	78.1	21.8785
Divers	40	0.9	.0.3600
Total		100	28.96

Constante pour air sec = 8314.47 / 28.96 = 287.12 J.Kg^-1.K^-1
Masse volumique pour l'air sec = 100725.8 / ( 287.12 * 293.15 ) = 1.20 Kg/m³
Célérité pour l'air sec = racine( 100725.8 * 1.4 / 1.20 ) = 343.27 m/s

Coefficient isentropique γ = 1.4
Pour les puristes, et pour faire une mise à jour ultérieure. Seul le résultat 28.97 est utilisé.

Vapeur :

Vapeur	Masse molaire	Quantité	Masse
Unité	g.mol-1	% en volume	g.mol-1
H2	2.016	100	2.016
O	15.994	100	15.994
Total		100	18.01

Constante pour vapeur = 8314.47 / 18.01 = 461.52 J.Kg^-1.K^-1
Masse volumique pour la vapeur = 100725.8 / ( 461.52 * 293.15 ) = 0.74 Kg/m³
Célérité pour la vapeur = racine( 100725.8 * 1.4 / 0.74 ) = 435.22 m/s

H₂O :

Pression partielle de H₂O : EXP(( -27405.526 + 97.5413 * T_abs - 0.146244 * 293.15² + 0.00012558 * 293.15³ - 0.000000048502 * 293.15⁴ ) /
( 4.34903 * 293.15 - 0.0039381 * 293.15² ) + LOG( 22105649.25 ))
Pour 20° C, la pression partielle de H₂O = 2336.30 Pa

MasseH₂O : ( 287.12 * 2336.30 * 40 / 100 ) / ( 461.52 *( 100725.8 - 2336.30 * 40 / 100 )) = 0.00583

C et Ro :

Ro = (( 1 + 0.00583 ) * ( 100725.8 / 293.15 )) / ( 287.12 + ( 461.52 * 0.00583 )) = 1.193 Kg/m³

C = racine( 100725.8 * 1.4 / 1.193 ) = 343.877 m/s

Tableau récapitulatif :

Vous verrez ce tableau dans pratiquement tous les calculs réalisés avec la base de données.
Si vous changez les valeurs par défaut pour adapter le calcul à votre cas, vous aurez des valeurs calculées différentes.
Rappel, le calcul marche de 0° C à 50° C, de -300 m à 4000 m, et de 0% à 100% d'humidité relative.

Masse volumique de l'air humide :

A partir du 17/04/2010, les modifications sur le calcul de C et Ro, appliquée dans la base de données, ne correspondent pas aux explications ci-dessous. Mise à jour en court.
La meilleure preuve sont les valeurs par défaut ci-dessus.

Table utilisée dans la Base de données haut-parleurs, pour des températures entre 0° C et 45° C.

Ts	100% Hr	90% Hr	80% Hr	70% Hr	60% Hr	50% Hr	40% Hr	30% Hr	20% Hr	10% Hr	1% Hr
En °C	Ro en Kg/m3
0 °C	1.289	1.290	1.290	1.290	1.290	1.291	1.291	1.291	1.292	1.292	1.292
1 °C	1.284	1.285	1.285	1.285	1.286	1.286	1.286	1.287	1.287	1.287	1.288
2 °C	1.279	1.280	1.280	1.281	1.281	1.281	1.282	1.282	1.282	1.283	1.283
3 °C	1.275	1.275	1.275	1.276	1.276	1.276	1.277	1.277	1.277	1.278	1.278
4 °C	1.270	1.270	1.271	1.271	1.271	1.272	1.272	1.272	1.273	1.273	1.274
5 °C	1.265	1.265	1.266	1.266	1.267	1.267	1.267	1.268	1.268	1.269	1.269
6 °C	1.260	1.261	1.261	1.261	1.262	1.262	1.263	1.263	1.264	1.264	1.264
7 °C	1.255	1.256	1.256	1.257	1.257	1.258	1.258	1.259	1.259	1.260	1.260
8 °C	1.250	1.251	1.251	1.252	1.252	1.253	1.253	1.254	1.254	1.255	1.255
9 °C	1.246	1.246	1.247	1.247	1.248	1.248	1.249	1.249	1.250	1.251	1.251
10 °C	1.241	1.241	1.242	1.243	1.243	1.244	1.244	1.245	1.245	1.246	1.246
11 °C	1.236	1.237	1.237	1.238	1.239	1.239	1.240	1.240	1.241	1.242	1.242
12 °C	1.231	1.232	1.233	1.233	1.234	1.235	1.235	1.236	1.236	1.237	1.238
13 °C	1.227	1.227	1.228	1.229	1.229	1.230	1.231	1.231	1.232	1.233	1.234
14 °C	1.222	1.223	1.223	1.224	1.225	1.226	1.226	1.227	1.228	1.229	1.229
15 °C	1.217	1.218	1.219	1.220	1.220	1.221	1.222	1.223	1.223	1.224	1.225
16 °C	1.212	1.213	1.214	1.215	1.216	1.217	1.217	1.218	1.219	1.220	1.221
17 °C	1.208	1.209	1.210	1.210	1.211	1.212	1.213	1.214	1.215	1.216	1.217
18 °C	1.203	1.204	1.205	1.206	1.207	1.208	1.209	1.210	1.211	1.211	1.212
19 °C	1.198	1.199	1.200	1.201	1.202	1.203	1.204	1.205	1.206	1.207	1.208
20 °C	1.194	1.195	1.196	1.197	1.198	1.199	1.200	1.201	1.202	1.203	1.204
21 °C	1.189	1.190	1.191	1.192	1.193	1.194	1.196	1.197	1.198	1.199	1.200
22 °C	1.184	1.185	1.187	1.188	1.189	1.190	1.191	1.192	1.194	1.195	1.196
23 °C	1.179	1.181	1.182	1.183	1.184	1.186	1.187	1.188	1.189	1.191	1.192
24 °C	1.175	1.176	1.177	1.179	1.180	1.181	1.183	1.184	1.185	1.187	1.188
25 °C	1.170	1.171	1.173	1.174	1.176	1.177	1.178	1.180	1.181	1.183	1.184
26 °C	1.165	1.167	1.168	1.170	1.171	1.173	1.174	1.176	1.177	1.178	1.180
27 °C	1.160	1.162	1.164	1.165	1.167	1.168	1.170	1.171	1.173	1.174	1.176
28 °C	1.156	1.157	1.159	1.161	1.162	1.164	1.165	1.167	1.169	1.170	1.172
29 °C	1.151	1.153	1.154	1.156	1.158	1.160	1.161	1.163	1.165	1.166	1.168
30 °C	1.146	1.148	1.150	1.151	1.153	1.155	1.157	1.159	1.161	1.163	1.164
31 °C	1.141	1.143	1.145	1.147	1.149	1.151	1.153	1.155	1.157	1.159	1.161
32 °C	1.136	1.138	1.140	1.142	1.144	1.146	1.149	1.151	1.153	1.155	1.157
33 °C	1.131	1.133	1.136	1.138	1.140	1.142	1.144	1.146	1.149	1.151	1.153
34 °C	1.126	1.129	1.131	1.133	1.136	1.138	1.140	1.142	1.145	1.147	1.149
35 °C	1.121	1.124	1.126	1.129	1.131	1.133	1.136	1.138	1.141	1.143	1.145
36 °C	1.116	1.119	1.122	1.124	1.127	1.129	1.132	1.134	1.137	1.139	1.142
37 °C	1.111	1.114	1.117	1.119	1.122	1.125	1.127	1.130	1.133	1.135	1.138
38 °C	1.106	1.109	1.112	1.115	1.118	1.120	1.123	1.126	1.129	1.132	1.134
39 °C	1.101	1.104	1.107	1.110	1.113	1.116	1.119	1.122	1.125	1.128	1.131
40 °C	1.096	1.099	1.102	1.105	1.109	1.112	1.115	1.118	1.121	1.124	1.127
41 °C	1.091	1.094	1.098	1.101	1.104	1.107	1.111	1.114	1.117	1.120	1.124
42 °C	1.086	1.089	1.093	1.096	1.099	1.103	1.106	1.110	1.113	1.117	1.120
43 °C	1.081	1.084	1.088	1.091	1.095	1.099	1.102	1.106	1.109	1.113	1.116
44 °C	1.075	1.079	1.083	1.087	1.090	1.094	1.098	1.102	1.105	1.109	1.113
45 °C	1.070	1.074	1.078	1.082	1.086	1.090	1.094	1.098	1.102	1.106	1.109

Merci pour votre visite.

La structure et ce site ont été analysés par Thomas NADAUD en mars 2007, en vu d'une meilleure lisibilité pour le lecteur et d'un meilleur référencement dans Google.
Le site a été analysé en mai 2008 par Jérôme CATTIAUX pour rechercher et résoudre tous les ralentissements possibles dans les menus, le html, PHP et MySQL.
Philippe (Phil) m'a fait ajouter en mars et avril 2010 quelques balises Title aux endroits qui convenaient pour que Google s'y retrouve beaucoup mieux dans le site.
Cette action était assortie des liens pour constater les gains dans le référencement.